Den 7. april:
Præsentation af forløbet
Forløbet
og farlige små tal har jeg gjort færdigt. Forløbet afsluttes med, at elever skal bruge et regneark, som kun indeholder formler med simpel matematik ( dvs. de 4 regnearter). Med regnearket er det muligt – på matematikkens grundlag – for eleverne at undersøge, hvordan corona-epidemien vil udvikle sig hen over foråret og sommeren 2020 under forskellige forudsætninger.
Blandt de afsluttende spørgsmål på forløbet, skal eleverne arbejde med denne problemstilling:
- Du skal tidligst i skole igen den 11. maj.
Hvordan forventer du, at corona-epidemien har udviklet sig til den tid sammenlignet med i dag?
Skriv en kort tekst, hvor du bruger ordene: smittemodtagelige, indicerede, immune, antal indlagte på landets hospitalers intensivafdelinger.
Her begynder forløbet, som jeg har skrevet på i perioden 11. marts til 7. april.
VIDEO
De sidste uger, har du set billeder af den grønne- og den røde kurve. I dette forløb skal du fremstille en matematisk model, så du selv kan beregne hvordan de kommer til at se ud, og du skal lære, at corona-epidemien i Danmark ikke behøver at blive så slem som i Italien, men vi skal alle tænke os om og gøre som Søren Brostrøm og Mette Frederiksen siger.
Du kommer i dette forløb til lære, hvordan du selv kan beregne, og dermed undersøge kurvernes forløb. Det er simpel matematik. Du skal kun bruge de fire regnearter og Excel.
Men i dag (den 25/3) har jeg beslutte ikke at gøre det før tidligst i næste uge. Når Søren vil vente vil jeg også. I bliver præsenteret for SIR-modellen, men det sidste af undervisningsforløbet må I vente en til to uger med at få. Men der er rigelig med god matematisk modelbygning i forløbet alligevel.
I weekenden mellem uge 12 og 13 fik vi at vide, at denne epidemi vil trække længer ud end to uger.
Vi har også som borgere fået indskærpet, at vi skal tænke os gevaldigt godt om, hvis vi skal undgå at komme i en situation, hvor hospitalsvæsnet ikke kan servicere os på den måde vi forventer. Det kan rask væk komme dertil, at vi ikke kan blive behandlet for et betændt sår eller en blindtarmsbetændelse, fordi hospitalerne allerede er fyldt op af patienter, der er meget syge af corona.
Det er meget få corona-smittede, der får brug for hjælp på hospitalet, omkring 1,5% af de smittede får brug for at blive indlagt på hospitalet og kun 0,5% af de smittede får brug for at blive behandlet på intensiv afdeling. 0,5% er eet af de små farlige tal.
Det vil ikke blive jer (børn, unge og raske mennesker), der får brug for hjælp på intensivafdeling, men fortrinsvist ælder og mennesker, der i forvejen døjer med en sygdom.
Hvis hospitalerne bliver fyldt op af mange alvorligt syge mennesker, har hospitalerne ikke kapacitet til at behandle almindelige sygdomme som snitsår, blindtarmsbetændelse, en brækket arm eller en infektion i et sår. Hvis det sker, vil corona-smitte være årsag til, at det kan blive farlig for os alle sammen.
Vi skal derfor alle sammen gøre os umage for at nedsætte smittespredningen. I princippet skal vi alle sammen bare gøre det vi får af vide at vi skal, og vi skal kun være fysisk sammen med dem vi bor sammen med, og både inde og ude, holde os på 2 meters afstand af alle andre. For vi skal gå ud fra, at vi kan blive smitte af alle vi møder. Sådan er det bare!
Den 23. marts smittede hver corona-smittede menneske knapt 2,1 andre mennesker i Danmark. Det hedder i matematik transmissionskoefficienten for corona-smitte og er et udtryk for smittespredning. Transmissionskoefficienten er også et af de små farlige tal.
Når I hører at smittekæden skal brydes, så gøres det ved at nedsætte transmissionskoefficienten.
I resten af dette kapitel, skal I lære at forstå, hvorfor det giver mening, at vi ikke fysisk må mødes med vennerne, hvorfor smittespredningen skal sænkes endnu mere end i dag, hvorfor det komme til at tage mindst 2 til 3 måneder og, at vi alle med vores handlinger er ansvarlige for hvordan det vil gå om 2 til 3 måneder.
Søren Brostrøm fortæller mere om dette i to artikler fra Politiken i weekenden mellem uge 12 og 13.
Forbered dig på en lang epidemi
https://politiken.dk/forbrugogliv/sundhedogmotion/art7721241/Forbered-dig-på-en-lang-epidemi
Det er hårdt. Og jeg ved at det bliver endnu hårdere når epidemien rigtig kommer
https://politiken.dk/forbrugogliv/sundhedogmotion/art7720960/
Som matematiklærer vil jeg vise jer, at man med matematik kan vise at, det er rigtigt nok, og jeg skal vise jer, hvordan I selv kan regne det ud med matematik og, at I selv kan undersøge hvordan det vil gå, hvis vi ikke alle gør os umage. Det er meget små tal, men farlige tal, der gør forskellen.
Læringsmål for dette forløbet: Corona-matematik og farlige små tal.
Jeg ved, at coronae-pidemien i Danmark ikke behøver at udvikle sig på sammen måde som i fx Italien, hvis vi alle tænker os om og gør som Mette og Søren siger.
- Jeg kan læse en avisartikel og udtrække væsentlige pointer
- Jeg forstå, hvorfor smittespredningen skal reduceres mest mulig, og hvorfor det er vigtigt, at vi i den næste tid ikke har fysisk kontakt med andre mennesker end dem vi bor sammen med.
- Jeg ved, at matematisk estimering betyder, at man kan beregne/forudsige et tal, man ikke kan måle eller kontrollere i dag
- Jeg ved, hvordan man kan beregne, hvor mange mennesker de må være smittet med corona-virus i lige nu i dag, når jeg ved hvor mange mennesker der er indlagt på hospitalet i dag.
- Jeg kan bruge min viden om procentregning i en konkret situation.
- Jeg ved at matematisk modelbygning betyder, at jeg kan beskrive, undersøge analysere en praktisk situation med matematik.
- Jeg ved at en matematisk model er en forsimpling af den komplekse virkelighed, og derfor skal jeg være kritisk.
- Jeg kan undersøge og forudsige hvordan corona-epidemi vil udvikle sig med matematik,
- Jeg ved, at når jeg arbejder med ”Corona-matematik og farlige små tal”, så både blive klogere på hvordan smittespredning har indvirkning på, hvordan corona-epidemien udvikler sig og på at bruge og lære matematik.
- Jeg ved hvordan jeg kan arbejde med en efterfølgerfunktion i et regneark.
- Jeg kan oprette og bruge et ”Skalarfelt i et regneark”
- Jeg kan forklare, hvorfor ”Smittespredning” er et af de farlige små tal.
- Jeg kan forklare SIR-modellen
I forløbet skal I
- Læse to artikler fra Politiken med interview af Søren Brostrøm.
- Udfører simple procentberegninger.
- Se videoer af hvordan man med regneark kan arbejde med en eksponentiel vækst-funktion
- Bruge aktuelle tal og på baggrund af disse beregne hvor mange, der i Danmark må være smittet med corona på en vilkårlig dag i de næste to måneder, når I kun ved hvor mange mennesker, der er indlagt på hospitaler i Danmark.
- Beregne væksten i antallet af smittede i dag og på baggrund af væksten i dag forudsige konsekvenser af, hvordan epidemien vil forløbe, hvis væksten fortsætter med samme eller ændret værdi.
- Se en video, hvor jeg vil vise og fortælle om SIR modellen, der er en matematisk model af smittespredning.
- Se en video af hvordan SIR-modellen kan overføres til et regneark. (En lite udgave)
- Selv opbygge et regneark i Excel / eller bruge mit lite regneark til at forudsige, undersøge og beskrive, hvordan Corona- epidemien vil udvikle sig i Danmark over de næste måneder.
- Evaluerer hvad I har lært af forløbet
Hvis du vil vide mere om coronavirus, så skal du læse på videnskab.dk
God læringslyst
Flemming
VIDEO
Intro til coronamatematik fra kælderen (video)
OPGAVE 1
Det er menneskeligt at fejle.
Se evt. videoen igen.
- Der var mindst to matematikfaglige fejl. Hvilke?
VIDEO
Simulering af spredning af smitte med brug af Excel
https://drive.google.com/file/d/1xfBW57GJJu3nVCn-FPhbDbJHYPtdlus8/view?usp=sharing
Her lærer I at oprette et dynamisk Excel-regneark med brug af “skydere”, der i Excel hedder et “skalafelt”
OPGAVE 2
- Prøv selv at fremstille regnearket.
VIDEO
Skalar-felt med en MAC og varm kakao
En dreng fra 8.x bad om at jeg kunne vise, hvordan man opretter et skalar-felt med en MAC.
Jeg viser dette, samt hvordan man kan simulerer temperaturen i en kop cacao, de står og bilver kold.
OPGAVE 3
- Prøv selv kræfter med at fremstille regnearket.
- En kop kakao afkøles med 5% i minuttet. Hvor lang tid går der inden ud ikke længere brænder dig i munden?
OPGAVE 4 i den lette genre
Jeg fik en besked på FaceBook.
Der skulle kun ganske lidt til at det blev til en matematisk problemstilling.
- Undersøg om skuret er stort nok til en familie på fire personer
- Vær kreativ og stil dig selv flere matematiske udfordringer i forhold til tegning og tekst
De to artikler fra Politiken
Søren Brostrøm fortæller mere om dette i to artikler fra Politiken i weekenden mellem uge 12 og 13.
Forbered dig på en lang epidemi
https://politiken.dk/forbrugogliv/sundhedogmotion/art7721241/Forbered-dig-på-en-lang-epidemi
Det er hårdt. Og jeg ved at det bliver endnu hårdere når epidemien rigtig kommer
https://politiken.dk/forbrugogliv/sundhedogmotion/art7720960/
Læs teksten i artiklen.
OPGAVE 5
- På et papir skriver du først stikord og udvælger derefter (sæt streg inder) de 5 væsentligste pointer.
Om procentregning
Teksten er sakset fra videnskab.dk
OPGAVE 6
Læs teksten og skriv et regneudtryk for den beregning, der viser at 11 660 patenter forventes af have behov for indlæggelse i de næste 3 måneder.
90% af de smittede klarer sygdomsforløbet uden hjælp at være i kontakt med sundhedssystemet.
8% de smittede vil have kontakt med egen læge eller en vagtlægeordning.
1,5% af de smittede vil have behov for indlæggelse på et hospital
0,5% af de smittede vil have behov for intensiv behandling
- Opstil flere regneudtryk , der kan forklare disse procentuelle sammenhænge.
Væsentlig i denne sammenhæng er at der i dag kun er ca. 1000 intensive sengepladser på hospitalerne i Danmark
Et estimat over hvor mange, der må forventes at være smittet med corona
For godt en uge siden gav det ikke længere mening at have en opgørelse over hvor mange mennesker, der var smittet med corona. Dette var i forbindelse med at strategien for bekæmpelse af corona-epidemien blev ændret fra inddæmning til begrænsning.
Det er imidlertid muligt at beregne det forventede antal smittede, da man ved hvor mange patienter, der er indlagt på hospitalerne og hvor mange af dem, der er indlagt på intensive afdelinger.
Ifølge videnskab.dk har 2% af smittede behov for hospitalsindlæggelse, heraf har 0,5% behov for intensiv behandling.
På linket herunder finder du de aktuelle oplysninger.
Et stykke nede på dette link, finder du oplysninger om udviklingen i antallet af mennesker der er indlagt på hospitalet. Disse mennesker er enten på indlagt enten på almindelig afdeling eller intensiv afdeling.
Den 22. marts 2020 så listerne ud som de to billeder længere nede på siden.
OPGAVE 7
- Beregn (evt ved hjælp af dette regneark) hvor mange, der må forventes at være smittet med corona-virus i dags dato.
Mørketallet er det antal mennesker, der er smittet med corona, men ikke har fået diagnosticeret, at de er smittet ved en test.
Den 23. marts kan du læse på coronasmitte.dk, at der var registreret 1450 smittede med corona.
OPGAVE 8
- Beregn mørketallet
På samme link – lidt længere nede -finder du oplysninger om udviklingen i antallet af mennesker der er indlagt intensiv afdeling på et hospital.
Den 22. marts 2020 så listen således ud:
Mit syn på modellering i matematikundervisningen
Når man udvikler og simulerer egne, eller bruger andres matematiske modeller giver dette mulighed for, at man kan undersøge og dermed reflektere over forhold i den komplekse virkelighed.
Arbejdet med matematiske modelle betinger dog, at man er opmærksom på, hvordan modellen forsimpler virkeligheden, samt hvilke forhold i modellen, som kan give anledning til fejltolkninger af hvordan virkeligheden vil opføre sig. Det er derfor vigtigt at overveje og undersøge fejlkilder i modellen, at vær e kritisk. Alle disse mentale processer er nødvendige ved arbejdet med – og ved inddragelse af matematiske modeller i undervisningen for at opnå målet med:
-At blive klogere på virkeligheden og matematikkens indhold og metoder.
Resten af dette forløb handler om udvikling af og simulering af SIR-modellen på et Excel-regneark.
Der bliver kun brugt simpel matematik kombineret med regnearkets muligheder for at arbejde med efterfølger-funktioner. Med denne kombination er det nu muligt at arbejde med fremskrivningsfunktioner i grundskolematematik.
SIR- modellen
To links lil teori om SIR-modellen:
https://uvmat.dk/paradig/not/n215-1.pdf
og
https://www.math.ku.dk/formidling/gymnasiet/studieretningsprojekter/files/Epidemier_nyt.pdf
Videoer om SIR- modellen fra kælderen eller
”Ken kommer hjem fra skiferie 1”
og
”Ken kommer hjem fra skiferie 2”
Link til:
SIR- Modellen som PDF-fil
SIR-light-modellen som Excel-fil
VIDEO
Jeg viser, hvordan man kan få Excel til at simulere SIR-modellen
Link til Epidemic Calculator. En avanceret model.
ARTIKEL
I ”Status og prognose for epidemiens fremtidige udvikling”, 30. marts 2020 skriver Kåre Mølbak, Statens Seum Institut.
”Der en tendens til, epidemikurven bøjer af og smittepresset falder. Derfor er det sandsynligt at epidemiforløbet – alt andet lige – er skiftet fra et kortvarigt 12-ugers forløb til et meget langstrakt forløb, hvor toppunktet er lavere. Vi er, populært sagt, på den grønne og ikke den røde kurve.”
VIDEO
I videoen viser jeg, hvordan den matematiske SIR-model, der kun indeholder simpel matematik, kan vise at ”der er grund til forsigtig optimisme” (Mette Frederiksen), og vi er på rette vej. Vi skal fortsætte med at ”stå sammen om at holde afstand” (Mette Frederiksen) i mindst to uger mere. Hvis vi gør det, vil det være forsvarligt gradvist og i mindre omfang igen at kunne være sammen med venner og familie. Forudsætningen er, at vi ”holder fast og gør det endnu bedre med de mange gode vaner”. (Søren Brostrøm) .
Hvis vi gør som Søren og Mette siger, er der ikke udsigt til at vi får tilstande som i Italien og i Spanien, hvis vi i den kommende tid” holder ved og holder afstand” (Thorkild Fogde).
OPGAVE 9
Hent regnearket: SIR-modellen SIR-modellen
OPGAVE 10
Hent de aktuelle tal for henholdsvis antallet af indlagte mennesker på hospital og for hospitalsindlagte mennesker med behov for intensiv behandling.
Se opgave 7
- Brug de aktuelle tal til af estimere hvor mange mennesker, der lige nu må antages at være smitede og hvor stort mørketallet må være i dag.
- Brug de aktuelle tal til beregne den procentvise stigning eller fald i mennesker med behov for hospitalsindlæggelse.
- Undersøg ved hjælp af regnearket SIR-modellen om der i dag er overensstemmelse mellem væksten i antallet af mennesker med behov for hospitalsindlæggelse og smittespredningstallet.
- Udform en prognose / hvordan vurderer du corona-epidemien vil udvikle sig i de kommende måneder på baggrund af dagens aktuelle smittespredningstal.
Den 6. april hold Mette pressemøde og fortalte om planlagt kontrolleret åbning af samfundet pr. 15. april
I den første uge i april faldt smittespredningstallet til 0,9, hvilket den 6. april gav anledning til at Mette Frederiksen og Co. varslede en ”kontrolleret, gradvis, stille og rolig åbning af Danmark efter påske” (Mette Frederiksen) med virkning fra den 16. april, under forudsætning af at smittespredningstallet ikke ændre sig i påsken. Derfor også fortsat en appel til danskerne om at ”stå sammen om at holde afstand” også i påsken.
Strategien er, at befolkningen i Danmark på en kontrolleret og langsom måde bliver smittet, således at sundhedssektoren kan følge med og alle borgere i Danmark kan få den behandling, de har behov for i sundhedssektoren. Derfor skal udviklingen i smittespredningen fortsat følge den grønne kurve.
Med den planlagte kontrollerede åbning af samfundet den 16 april, forventer Kåre Mølbak (Serum Instituttet), at smittespredningstallet vil stige til 1,3, hvilket stadig betyder, at vi ”bliver på den grønne kurve”.
I den forbindelse blev begrebet flokimmunitet introduceret. Dette begreb dækker over nødvendigheden af, at en tilstrækkelig stor del af befolkningen udvikler resistens, for at stoppe smittespredningen.
Udvikling af flokimmunitet skal ske på den grønne kurve, og dermed langsomt. I SIR- modellen betyder det at smittespredningstallet skal fastholdes på det nuværende niveau på 1,2 til 1,4.
Om flokimmunitet
Flokimmunitet hænger sammen med vaccinationsprogrammer. Flokimmunitet er et begreb, der dækker over et tal for, hvor stor en del af befolkningen, der skal vaccineres eller udvikle resistens ved at have været smittet, for at en virus ikke kan starte en epidemi og dermed meget hurtigt vil gå i sig selv.
Et klassisk eksempel er den meget smitsomme virussygdom mæslinger, hvor en smittet i gennemsnit kan smitte cirka 12 mennesker( smittespredningstallet). Med et højt smittespredningstal har man regnet ud, at man skal vaccinere mindst 95 procent af befolkningen for at undgå, at de sidste 5 procent af befolkningen, som er modtagelige for smitte, bliver smittet.
Coronaepidemien, der hærger i det meste af verden lige nu, vil en smittet give infektionen videre til cirka 2,6 personer i gennemsnit. Det betyder, at hvis man drømmer om at stoppe epidemien, skal man i teorien op på 60 procent i flokimmunitet. Det vil med andre ord sige, at 60 procent af befolkningen skal være 100 procent immune og ude af stand til at sende smitten videre.
Læs mere om flokimmunitet, smittespredning, og immunitet her:
Det er endnu uvist om flokimmunitet kan redde os, siger eksperter Politiken den 5. april
Skal vi op på 60 pct. smittede?
Supplerende læsning (ing.dk, 1. april)
Kåre Mølbak præciserer: Flokimmunitet er ikke en strategi – men den er uundgåelig
I dagene omkring 30 marts var et rimeligt estimat, at der var ca. 27 000, der var eller havde været smittet i Danmark. Det er endvidere rimeligt at antage, at smittespredningstallet de foregående 4 uger havde ligget mellem 1,8 og 1,9. Dog var smittespredningstallet ugen op til 1. april omkring 1,4 og ugen efter 1. april omkring 0,9.
VIDEO
I videoen viser jeg hvordan det er muligt at simulere og dermed forudsige, hvordan corona-epidemien vil udvikle sig med det udbyggede regneark: SIR-modellen med flokimmunitet.
SIR-modellen med flokimmunitet
SIR-modellen med flokimmunitet 7apr
OPGAVE 11 (sidste opgave i dette forløb)
Opgave 11 består af en række delopgaver, der skal besvares ved anvendelse af regnearksmodellen herover SIR-modellen med flokimmunitet.
Ved arbejdet med modellen er det vigtigt at gøre sig klart at alle tal er udtryk for menneskeskæbner, og derfor ikke bare tal. Det er også vigtigt at gøre sig klart, at denne model er en meget forsimplet model, der på mange områder ikke giver en præcis og sikker beskrivelse af hvordan corona-epidemien vil udvikle sig i de nærmeste måneder. Målet med arbejdet med denne model er stadig:
At blive klogere på virkeligheden og matematikkens indhold og metoder.
Spørgsmålene herunder skal begrundes i din brug af regnearkemodellen: ”SIR-modellen med flokimmunitet” og evt, sammenligninger mellem prognoser i Epidemic Calculator, der er en mere avanceret matematisk model og regnearksmodellen.
- Du skal tidligst i skole igen den 11. maj.
Hvordan forventer du, at corona-epidemien har udviklet sig til den tid sammenlignet med i dag?
Skriv en kort tekst, hvor du bruger ordene: smittemodtagelige, indicerede, immune, antal indlagte på landets hospitalers intensivafdelinger.
- Udform en prognose / hvordan vurderer du, corona-epidemien vil udvikle sig i de kommende måneder på baggrund af ændringer i smittespredningstallet i ugen før og efter 1. april, og hvordan vil corona-epidemien udvikle sig hen over forår og sommeren 2020.
For at svare på dette spørgsmål, kan du vise og forholde dig krittisk til, hvordan modellerne giver svar på spørgsmålene herunder:
- Hvor stor vil belastningen på landets intensivafdelingerne være henholdsvis
maj og til Sankt Hans den 23. juni.?
Intensivafdelingerne på landets hospitaler har i dag ca. 1 100 pladser.
Du skal angive dit svar i %, og med en supplerende tekst. - Hvor stor en del af befolkningen har de datoer udviklet resistens mod COVI19 ?
Du skal angive svaret i %, og i en tekst sammenligne dette tal med flokimmuniteten
(Du kan ændre regnearket til en ”gaffel-funktion” ved at indsætte konstanter i relevante celler se video her over
- Hvorfor måtte Mette Frederiksen 6. april fortælle, at hun måtte aflyse alle sommerens festivaller?
Skriv en kort tekst om hvorfor det bare er sådan, og hvordan du så vil bruge sommeren på en god måde, hvis du stadig skal ”stå sammen om at holde afstand”